HISTORIA DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente para realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en sus demostraciones geométricas. Sin embargo, corresponde a los hindúes el mérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los números positivos, negativos y cero, hacia el año 650 d. C.

Los árabes no usaron los números negativos y los consideraban como restas indicadas. A partir del siglo XV, algunos matemáticos muy conocidos comenzaron a utilizarlos en sus trabajos. Stifel, popularizó los signos + y - y llamaba a los números negativos, números absurdos, hasta entonces se utilizaba la palabra latina minus que significa menos, o su abreviatura m.

Números enteros

El conjunto formado por todos los números naturales  y los simétricos de estos, constituyen el conjunto Z de los números enteros.

El conjunto de los números enteros está formado por:

Z= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Representación de los números enteros

1. En  una  recta  horizontal,  se  toma  un  punto  cualquiera  que  se  señala  

    como  cero.

2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1,    2, 3,...

3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: − 1, −2, −3,...

Adición de números enteros

Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = −8

Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = −2

Propiedades de la adición de números enteros

1. Interna:

El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.

a + b pertenece a los números enteros.

3 + (−5) pertenece a los números enteros.

2. Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)]

5 − 5 = 2 + (−2)

0 = 0

3. Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

2 + (−5) = (−5) + 2

−3 = −3

4. Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

(−5) + 0 = −5

5. Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

−(−5) = 5

Diferencia de números enteros

La sustracción en Z es la operación que asocia a cada par de números enteros m y s llamados minuendo y sustraendo, otro número entero d llamado diferencia.

La sustracción de dos números enteros m y n se define  así:

M – n = m + (-n) = d  para todo m, n,  d que pertenece a los números enteros.

Por ejemplo: 

8 - 3 = 8 + (-3) = 5

4 – 6 = 4 + (-6) = -2

9 – (-3) = 9 + (3) = 11

-8 – (-2) = -8 + (2) = -6

La sustracción de dos números enteros es igual a la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo.

Propiedades de la diferencia de números enteros

1.  Interna:

La resta dos números enteros es otro número entero.

a − b pertenece a los números enteros

10 − (−5) pertenece a los números enteros

2. No es Conmutativa:

a − b ≠ b − a

5 − 2 ≠ 2 − 5